019. SEJARAH BILANGAN

Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat
menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan
linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita
akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat,
dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai
pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks. Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan
Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara
alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan
tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,
saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang
digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan
yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan
tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu
pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah
bilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N..Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}. Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk
mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli
bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli
akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita
akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli
hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan
anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas
dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai
bilangan Cacah.

Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada
bilangan nol, menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan
beberapa bilangan memiliki notasi yang sama (untuk lebih lengkap, silakan baca
buku Berhitung Sejarah dan Pengembangannya yang ditulis oleh Dali S. Naga). Dengan
adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah.
Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian
dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.

Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya
merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang
memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang
memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan
keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang
ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan
membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.
Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan
bulat. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan
cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4
= 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya
dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan
hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 =
-2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk
bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah , dan anggota bilangan Z bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 - 6, tetapi dapat juga
dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal
tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah.
Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}.
Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti
anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan
asli.

Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk
struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah,
terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif
(grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat
tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan
komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup,
komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem
bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan
sebelumnya.

Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat
tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek
menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh.
Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak,
maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh).
Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak
mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk
menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.

Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional.
Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai m/n
dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka
persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat
membentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan
(Field).

Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga
siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi
miringnya (hypotenusa) adalah √2. Namun, √2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis
real). Ini berarti ada bilangan lain di luar sistem bilangan rasional. Bilangan
tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan
bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem
bilangan real membentuk lapangan terurut yang lengkap. Sistem bilangan real dapat
memenuhi kebutuhan manusia tentang bilangan. Meski demikian, sistem bilangan masih
dapat diperluas.